Пружинное ружьё выстреливает шарик вертикально вверх на высоту 30 см, если пружина сжата на 1 см. Какова жёсткость пружины, если масса шарика равна 15 г?

Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии. Примерно задача решается по следующему принципу:

1. Энергия, запасённая в пружине. Когда пружина сжата на 1 см, в ней сохраняется потенциальная энергия. Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

   $$E_{\text{пруж}} = \frac{1}{2} k x^2$$

   где:

   • $k$ — жёсткость пружины,

   • $x$ — сжатие пружины (в метрах, то есть 1 см = 0.01 м).

2. Энергия на высоте. Когда шарик выстреливает вверх, его энергия преобразуется в потенциальную энергию тяжести. Потенциальная энергия в момент, когда шарик достигает высоты $h = 0.3$ м, рассчитывается по формуле:

   $$E_{\text{тяж}} = mgh$$

   где:

   • $m$ — масса шарика (15 г = 0.015 кг),

   • $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$),

   • $h$ — максимальная высота подъёма (0.3 м).

3. Сохранение энергии. В идеальных условиях, вся энергия пружины переходит в энергию тяжести шарика. Следовательно, потенциальная энергия пружины равна потенциальной энергии тяжести:

   $$\frac{1}{2} k x^2 = mgh$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{1}{2} k (0.01)^2 = 0.015 \times 9.8 \times 0.3$$

   Решим это уравнение для $k$:

   $$\frac{1}{2} k \times 10^{-4} = 0.015 \times 9.8 \times 0.3$$ $$\frac{1}{2} k \times 10^{-4} = 0.0441$$ $$k \times 10^{-4} = 0.0882$$ $$k = \frac{0.0882}{10^{-4}} = 882 \, \text{Н/м}$$

Таким образом, жёсткость пружины составляет 882 Н/м.