Как изменится давление идеального газа при увеличении объёма в 2 раза, если расширение газа происходит по закону \( \frac{p}{V^2} = \text{const} \)? Массу газа считать постоянной.

Для ответа на данный вопрос рассмотрим уравнение состояния, описывающее закон изменения давления при расширении газа:

где $p$ — давление газа, $V$ — объём, и константа определяется условиями задачи.

Предположим, что начальное состояние газа имеет давление $p_1$ и объём $V_1$. Тогда из уравнения состояния для этого состояния можно записать:

где $C$ — это константа, которая остаётся постоянной во время изменения объёма.

Теперь рассмотрим новое состояние, когда объём увеличивается в 2 раза, то есть объём становится $V_2 = 2V_1$. Для этого состояния можно записать аналогичное уравнение:

Подставим $V_2 = 2V_1$:

Упростим:

Теперь, зная, что $\frac{p_1}{V_1^2} = C$, можем приравнять эти два выражения:

Умножив обе части на $V_1^2$, получаем:

Отсюда можно выразить $p_2$:

Таким образом, при увеличении объёма в 2 раза давление газа увеличится в 4 раза.