Если положить на стол брусок, он будет покоиться, а если положить шар, он начнёт катиться. Следует ли отсюда, что на брусок, лежащий на столе, действует сила трения покоя?

Короткий ответ: нет, не следует. Сам по себе факт «лежит и не едет» ещё не доказывает, что на брусок действует сила трения покоя.

Почему так. Сила трения покоя возникает только тогда, когда есть тенденция к относительному скольжению. Если стол идеально горизонтален и на брусок не тянут никакие горизонтальные силы, то тянуть ему «нечего» — горизонтальная составляющая равнодействующей нулевая, следовательно, сила трения покоя тоже равна нулю. На брусок действуют лишь вес $mg$ и нормальная реакция $N$, взаимно перпендикулярные; их горизонтальных компонент нет, так что трение не «включается».

Когда трение покоя появляется? Например, если стол чуть наклонён или к бруску приложена горизонтальная сила. Тогда трение покоя уравновешивает стремление к скольжению: для наклона под углом $\alpha$ условие покоя бруска таково

где $\mu_s$ — коэффициент трения покоя. В этой ситуации сила трения покоя действительно действует (и направлена вверх по наклону), но её величина подстраивается «по требованию» — от нуля до $\mu_s N$.

Почему же шар «сам» катится? Если плоскость даже совсем чуть-чуть наклонена, у шара нет порога начала движения в идеализированной модели без сопротивления качению: при любой $\alpha>0$ компонент веса $mg\sin\alpha$ вызывает ускорение, а статическое трение лишь обеспечивает крутящий момент для чистого качения (и направлено вверх по наклону). У бруска есть порог $\tan\alpha \le \mu_s$, поэтому при малых наклонах брусок может стоять, а шар — уже катиться. На идеально горизонтальном столе ни брусок, ни шар сами не поедут, и силы трения (в проекции на плоскость) равны нулю.

Итого: лежание бруска на столе не означает автоматически наличие силы трения покоя. Она появляется только при наличии «попытки» сдвига (наклон, толчок и т.п.); в противном случае её величина равна нулю.