На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции J барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с². С подробным объяснением.

Дано:

• радиус барабана $R = 0{,}5\ \text{м}$

• масса груза $m = 10\ \text{кг}$

• ускорение опускания груза $a = 2{,}04\ \text{м/с}^2$

• ускорение свободного падения $g = 9{,}81\ \text{м/с}^2$

Найти момент инерции барабана $J$.

1) Какие силы действуют на груз

На груз действуют две силы:

1. сила тяжести $mg$ вниз

2. сила натяжения шнура $T$ вверх

Выберем направление вниз положительным. Тогда второй закон Ньютона для груза:

Отсюда натяжение:

2) Связь движения груза и вращения барабана

Шнур разматывается без проскальзывания, значит линейное ускорение шнура равно касательному ускорению точки на ободе барабана:

где $\alpha$ — угловое ускорение барабана.

3) Уравнение вращательного движения барабана

Сила натяжения $T$ создает момент силы относительно оси барабана:

По динамике вращения:

Значит:

Подставим $\alpha = \dfrac{a}{R}$:

Отсюда момент инерции:

Теперь подставим $T = m(g-a)$:

4) Подстановка чисел

Считаем по шагам:

1. $g-a = 9{,}81 - 2{,}04 = 7{,}77$

2. $R^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25$

3. Числитель: $10 \cdot 7{,}77 \cdot 0{,}25 = 19{,}425$

4. Делим на $2{,}04$:

Ответ

(Предполагается, что шнур невесомый, потерь на трение нет, проскальзывания нет, $g=9{,}81\ \text{м/с}^2$.)