Задача: Доказать, что энергетический спектр свободных электронов в проводнике можно считать непрерывным (т.е. его дискретностью можно пренебречь).

Рассмотрим свободные электроны в проводнике как частицы, находящиеся в трёхмерном потенциальном ящике объёма

Из-за конечных размеров проводника волновая функция электрона должна удовлетворять граничным условиям, поэтому разрешённые значения импульса, а следовательно, и энергии действительно дискретны. Однако для макроскопического проводника расстояние между соседними уровнями оказывается настолько малым, что спектр практически неотличим от непрерывного.

Для удобства возьмём периодические граничные условия. Тогда компоненты волнового вектора имеют значения

где $n_x,n_y,n_z$ — целые числа.

Энергия свободного электрона равна

где

Таким образом, каждой разрешённой точке в $k$-пространстве соответствует определённое дискретное энергетическое состояние.

Объём, приходящийся на одну разрешённую точку в $k$-пространстве, равен

Число состояний с модулем волнового вектора, не превышающим $k$, определяется числом точек внутри сферы радиуса $k$. С учётом двух возможных направлений спина электрона получаем

Отсюда

Так как

число состояний с энергией меньше $E$ равно

Плотность энергетических состояний определяется выражением

Выполняя дифференцирование, получаем

Величина $g(E)dE$ показывает число разрешённых состояний в интервале энергий от $E$ до $E+dE$. Поэтому среднее расстояние между соседними энергетическими уровнями около энергии $E$ можно оценить как

Главный результат состоит в том, что

а значит,

Следовательно, при увеличении размеров проводника расстояние между энергетическими уровнями быстро уменьшается. В макроскопическом образце оно становится чрезвычайно малым.

Для вырожденного электронного газа удобно оценить расстояние между уровнями около энергии Ферми. Для свободных электронов выполняется соотношение

где $N$ — число свободных электронов в проводнике. Поэтому