Стержень плавает в воде таким образом, что под водой находится ¾ его объёма. Определить плотность материала, из которого изготовлен стержень. Плотность воды 1000 кг/м³.

Для решения задачи воспользуемся законом Архимеда, который утверждает, что сила Архимеда, действующая на объект, равна весу вытолкнутой им жидкости.

Пусть масса стержня равна $m$, его объем — $V$, а плотность материала стержня — $\rho_с$. Плотность воды равна $\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$.

Поскольку стержень плавает в воде и под водой находится ¾ его объема, можно сказать, что выталкивающая сила Архимеда равна весу стержня.

1. Сила Архимеда равна весу вытолкнутой воды:

   $$F_{\text{арх}} = \rho_в \cdot g \cdot V_{\text{выталкиваем}} = \rho_в \cdot g \cdot \frac{3}{4}V$$

   где $V_{\text{выталкиваем}} = \frac{3}{4}V$ — объем вытолкнутой воды.

2. Вес стержня равен:

   $$F_{\text{вес}} = m \cdot g = \rho_с \cdot V \cdot g$$

   где $\rho_с \cdot V$ — масса стержня.

Поскольку стержень плавает, то сила Архимеда равна весу стержня, то есть:

3. Упростим уравнение, сократив $g$ и $V$ (при $V \neq 0$):

   $$\rho_в \cdot \frac{3}{4} = \rho_с$$

4. Подставим значение плотности воды $\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$:

   $$1000 \cdot \frac{3}{4} = \rho_с$$

5. Найдем плотность материала стержня:

   $$\rho_с = 750 \, \text{кг/м}^3$$

Таким образом, плотность материала стержня составляет 750 кг/м³.