Предположим, что радиус Земли уменьшился в 3 раза. Как должна измениться её масса, чтобы ускорение свободного падения на поверхности осталось прежним?

Давайте разберёмся шаг за шагом.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется формулой:

где:

• $g$ — ускорение свободного падения,

• $G$ — гравитационная постоянная,

• $M$ — масса планеты,

• $R$ — радиус планеты.

Сейчас $g_0 = \frac{G M_0}{R_0^2}$, где $M_0$ и $R_0$ — нынешняя масса и радиус Земли.

Пусть радиус уменьшился в 3 раза:

Чтобы $g$ остался прежним, должно выполняться:

Подставим $R_\text{новый} = R_0/3$:

Сравниваем с исходным $g_0 = \frac{G M_0}{R_0^2}$:

Сокращаем $G/R_0^2$:

Вывод:
Чтобы ускорение свободного падения на поверхности Земли осталось прежним при уменьшении радиуса в 3 раза, её масса должна уменьшиться в 9 раз.