С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h?

Ответы на вопрос

Отвечает Алхимова Виктория.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Нам нужно найти начальную скорость $v_0$ , с которой мяч нужно бросить вниз с высоты $h$ , чтобы после абсолютно упругого удара о землю он поднялся на высоту $2h$ . Предположим, что ускорение свободного падения $g$ направлено вниз, сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. Связь между высотой и скоростью

Для вертикального движения вверх или вниз можно использовать закон сохранения энергии:

v^2 = v_{\text{нач}}^2 + 2 g \Delta y

где $v$ — скорость в данный момент, $v_{\text{нач}}$ — скорость на предыдущей высоте, $\Delta y$ — изменение высоты (положительное вниз).

2. Скорость при ударе о землю

Мяч падает с высоты $h$ с начальной скоростью $v_0$ вниз. Тогда скорость при ударе о землю $v_{\text{удар}}$ будет:

v_{\text{удар}} = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}

Здесь мы использовали формулу движения с постоянным ускорением.

3. Упругий удар

Абсолютно упругий удар означает, что мяч "отскакивает" от земли без потери энергии. После удара скорость меняет направление, но её модуль остаётся тем же:

v_{\text{отскок}} = v_{\text{удар}}

4. Высота после отскока

Высота, на которую мяч поднимется после удара, связана с его скоростью после отскока по закону сохранения энергии:

v_{\text{отскок}}^2 = 2 g H

где $H$ — высота подъёма после удара. Подставляем $H = 2h$ :

v_{\text{отскок}}^2 = 2 g \cdot 2h = 4 g h

Так как $v_{\text{отскок}} = v_{\text{удар}} = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}$ , получаем уравнение:

v_0^2 + 2 g h = 4 g h

5. Находим начальную скорость

v_0^2 = 4 g h - 2 g h = 2 g h

v_0 = \sqrt{2 g h}

✅ Ответ

Начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, чтобы он после абсолютно упругого удара поднялся на высоту $2h$ , равна:

\boxed{v_0 = \sqrt{2 g h}}

Если интересно, можно заметить, что эта скорость совпадает с той, которую мяч бы приобрёл при свободном падении с высоты $h$ без начальной скорости, потому что энергия после удара должна удвоиться для подъёма на высоту $2h$ .

С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h? Считать удар о землю абсолютно упругим.