В левое колено U–образной трубки с водой долили 25-сантиметровый слой легкой несмешивающейся жидкости. При этом уровень воды в правом колене поднялся на 10 см. Найти плотность неизвестной жидкости.

Разберём задачу пошагово.

У нас есть U-образная трубка, в которой вначале одинаковый уровень воды. В левое колено добавляют слой легкой несмешивающейся жидкости толщиной $h = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$. В результате уровень воды в правом колене поднялся на $h_2 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$. Нужно найти плотность этой жидкости $\rho_ж$.

Шаг 1. Запишем закон сообщающихся сосудов

При равновесии давление на одном уровне жидкости одинаково. Если принять уровень воды до добавления жидкости за ноль, то после добавления:

• В левом колене сверху — слой жидкости $\rho_ж$, ниже — вода ($\rho_в$) на глубину $h_1$ (до нового уровня воды в левом колене).

• В правом колене — вода поднимется на $h_2$.

Высота воды в левом колене опустилась на $x$, тогда:

На самом деле проще использовать разность уровней воды. Если вода поднялась в правом колене на $h_2 = 0.10\text{ м}$, то в левом колене уровень воды опустился на то же значение (т.к. вода выдавилась). То есть уровень воды в левом колене под добавленной жидкостью опустился на $h_2 = 0.10\text{ м}$, а над ней слой $\, h = 0.25\text{ м}$ лёгкой жидкости.

Шаг 2. Равенство давлений на одном уровне

Возьмём уровень в правом колене на новом уровне воды, там давление:

В левом колене на том же уровне (ниже слоя лёгкой жидкости) давление:

Хотим приравнять давления:

Но нужно внимательно. Более точная схема:

• Уровень воды в исходном состоянии — $0$.

• После долива лёгкой жидкости (плотность $\rho_ж$):

  • В левом колене над водой — слой жидкости $h = 0.25 \text{ м}$.

  • Уровень воды в левом колене опустился на $x = ?$.

• В правом колене вода поднялась на $h_2 = 0.10\text{ м}$.

Поскольку объём воды сохраняется, падение уровня в левом колене $x = h_2 = 0.10\text{ м}$.

Давление на уровне нового уровня воды в правом колене (точка на глубине $h_2$ от первоначального уровня воды):

Давление на том же горизонтальном уровне в левом колене:

Почему? Потому что вода в левом колене опустилась на $h_2$, так что глубина воды под лёгкой жидкостью равна $h_в = ?$. Точнее:

• Слой лёгкой жидкости $h = 0.25\text{ м}$.

• Слой воды под ним опустился на $h_2 = 0.10\text{ м}$.

• Значит, давление внизу слоя лёгкой жидкости:

А в правом колене на этом же уровне давление:

Приравниваем:

Сокращаем $g$:

Шаг 3. Вычислим плотность