В воде плавает в вертикальном положении частично погруженный деревянный цилиндр. Цилиндр погрузили немного глубже в воду и отпустили, после этого он начал колебаться вдоль своей оси симметрии с амплитудой x(max)=1,0 см. Определите площадь основания цилиндра, если максимальная кинетическая энергия его колебаний Wk(m) = 2,4 мДж. Плотность воды ρ=1,0 г/см³. g=10 м/с².

Цилиндр совершает колебания под действием выталкивающей силы. При смещении на \(x\) вниз возникает дополнительная сила Архимеда \(F = \rho g S x\), которая действует как возвращающая сила. Жёсткость такой «пружины» \(k = \rho g S\).

Максимальная кинетическая энергия при гармонических колебаниях равна максимальной потенциальной энергии пружины: \[W_{k\text{max}} = \frac{1}{2} k A^2,\] где \(A = x_{\text{max}}\).

Подставляем \(k\): \[W_{k\text{max}} = \frac{1}{2} \rho g S A^2.\] Отсюда площадь основания: \[S = \frac{2 W_{k\text{max}}}{\rho g A^2}.\]

Переводим величины в СИ: \(W_{k\text{max}} = 2{,}4\ \text{мДж} = 2{,}4 \times 10^{-3}\ \text{Дж}\), \(A = 1{,}0\ \text{см} = 0{,}01\ \text{м}\), \(\rho = 1{,}0\ \text{г/см}^3 = 1000\ \text{кг/м}^3\), \(g = 10\ \text{м/с}^2\).

Вычисляем: \[S = \frac{2 \cdot 2{,}4 \times 10^{-3}}{1000 \cdot 10 \cdot (0{,}01)^2} = \frac{4{,}8 \times 10^{-3}}{1000 \cdot 10 \cdot 10^{-4}} = \frac{4{,}8 \times 10^{-3}}{1} = 4{,}8 \times 10^{-3}\ \text{м}^2 = 48\ \text{см}^2.\]

Ответ: \(48\ \text{см}^2\).

0 0 Пожаловаться