Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 45° пущена шайба со скоростью 12 м/с. Через некоторое время она останавливается и соскальзывает вниз. С какой скоростью она вернется в исходную точку? Коэффициент трения шайбы о плоскость 0,8.

Чтобы найти скорость, с которой шайба вернется в исходную точку, можно использовать законы сохранения энергии и кинематику, учитывая силы трения и угловые параметры наклонной плоскости.

Дано:

• Угол наклона плоскости $\alpha = 45^\circ$,
• Начальная скорость шайбы $v_0 = 12 \, \text{м/с}$,
• Коэффициент трения $\mu = 0.8$.

1. Движение вверх по наклонной плоскости:

Когда шайба движется вверх, на неё действует несколько сил:

• Сила тяжести, компонента которой, направленная вдоль плоскости, равна $mg \sin \alpha$,
• Сила трения, которая препятствует движению и направлена вниз, равна $f_{\text{тр}} = \mu N$, где $N = mg \cos \alpha$ — нормальная сила, перпендикулярная плоскости.

Таким образом, сила трения $f_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha$.

Сила, которая замедляет шайбу, составляется из двух частей:

• Сила тяжести вдоль плоскости $mg \sin \alpha$,
• Сила трения $f_{\text{тр}}$.

Итого, полная сила замедления:

Используя второй закон Ньютона, можно записать уравнение для ускорения (или замедления) шайбы:

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, то $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем в уравнение:

При $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$:

2. Время остановки:

Для нахождения времени, за которое шайба остановится, используем уравнение движения с постоянным ускорением:

где $v = 0$ (конечная скорость), $v_0 = 12 \, \text{м/с}$ (начальная скорость), $a = 12.5 \, \text{м/с}^2$ — ускорение (отрицательное, так как замедление). Решаем относительно $d$ — расстояния, которое пройдет шайба:

3. Движение вниз по наклонной плоскости:

Теперь шайба скользит вниз, и на нее также действуют две силы:

• Сила тяжести, которая направлена вниз вдоль наклонной плоскости и равна $mg \sin \alpha$,
• Сила трения, которая теперь препятствует движению вниз, и равна $f_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha$.

Итак, ускорение при движении вниз:

Подставляем значения: