Как пишется правильно разнасились или разносились?

Правильно: разносились.

Это форма прошедшего времени мн. числа от глагола разноситься (имп. вид) — «распространяться, звучать вокруг». Пишется через -но-, потому что корень здесь -нос- (от «носить»): раз-НОС-и-лись. Вариант «разнасились» — ошибочный, такого корня в русском нет.

Для смысла «распространились (и результат наступил)» употребляют совершенный вид: разнеслись.

Примеры:
• По двору разносились запахи сирени.
• Весть быстро разнеслась по посёлку.

Ударение: разноси́лись.