Как проверить третью букву "е" в слове "летнее"?

Третья «е» — это часть окончания прилагательного среднего рода -ее. Проверяется изменением по родам: м.р. — летний, ж.р. — летняя, ср.р. — летнее. У прилагательных на -ний в форме ср. рода ед. числа пишется окончание -ее (ср.: синий — синее, весенний — весеннее). Поэтому правильно: летнее.