Сколько реформ правописания было в истории русского языка?

Если отвечать по-честному, «сколько реформ правописания было» зависит от того, что считать именно реформой: только радикальные и обязательные изменения (с заменой букв, правил и т. п.) или ещё и крупные государственные кодификации (когда правила не столько «переламывают», сколько официально закрепляют и унифицируют).

1) Если считать реформами только реально проведённые большие изменения, которые обязали применять повсеместно

Тогда обычно называют 2 реформы.

1) Петровская реформа письма (начало XVIII века)
Это переход к «гражданскому шрифту» и упорядочивание письма для светской печати. По сути, это модернизация графики и практики письма: отделение церковной традиции от светской, приближение набора и чтения к более удобному виду, подготовка почвы для более единообразного письма в печати.

2) Реформа 1917–1918 годов
Самая известная орфографическая реформа: упрощение и унификация письма после революции. В массовом представлении именно она — «реформа правописания» в чистом виде, потому что изменения были заметны всем: исчезли некоторые буквы, изменились обязательные написания, правила стали проще и однозначнее для школы и печати.

? Итог по строгому подходу: 2 реформы.

2) Если дополнительно считать реформой крупную государственную кодификацию правил

Тогда часто говорят о 3 этапах, где третий — не «слом системы», а официальное закрепление нормы.

3) Правила 1956 года (официальная кодификация)
В середине XX века были утверждены «Правила русской орфографии и пунктуации», которые привели школьную и издательскую практику к единому стандарту: устранили разнобой, уточнили формулировки, закрепили обязательность ряда написаний. Это не воспринимается как такая же «революция», как 1917–1918, но по масштабу влияния на норму и образование это очень значимое государственное упорядочивание.

? Итог по расширенному подходу: 3 (две реформы + одна крупная кодификация).

Почему иногда встречаются другие числа

Иногда в счёт включают проекты, которые обсуждались, но не были введены как обязательная общегосударственная реформа (например, предложения середины XX века или более поздние проекты уточнений). В таком подсчёте число «реформ» растёт, но это уже смешение реальных проведённых реформ с инициативами и проектами.

Короткий вывод по сути вопроса:

• Обычно в истории русского правописания называют 2 реформы (петровская и реформа 1917–1918).

• Если считать ещё и официальное утверждение правил 1956 года как реформаторский этап, тогда получается 3.