Разберём каждое слово. Ключевое правило тут такое: на конце слов после шипящих (ж, ш, ч, щ) мягкий знак пишется не всегда, и зависит от части речи, формы и рода.

1) чувствуешь

Пишется: чувствуешь — с мягким знаком.
Это глагол, форма 2-го лица ед. числа (ты чувствуешь).
У глаголов в таких формах на конце после шипящих мягкий знак обязателен:
пишешь, читаешь, слышишь, бережёшь, чувствуешь.

2) горяч

Пишется: горяч — без мягкого знака.
Это краткое прилагательное (он каков? горяч).
У кратких прилагательных мужского рода после шипящих мягкий знак не пишется:
свеж, хорош, могуч, горяч.

3) пожох

Такое слово в современном литературном русском языке обычно не является нормативным.
Чаще всего имеется в виду либо «ожог», либо что-то вроде диалектного/разговорного образования.
Если рассматривать именно форму пожох как существительное мужского рода на -х (не шипящая), то вопрос «после шипящих» здесь вообще не работает: после “х” мягкий знак на конце не ставится → пожох (без ь).
Но подчеркну: слово сомнительное по норме, поэтому в учебной задаче, вероятнее всего, опечатка.

4) шипуч

Пишется: шипуч — без мягкого знака.
Это краткое прилагательное (он каков? шипуч).
Краткие прилагательные мужского рода после шипящих — без ь.

5) помощь

Пишется: помощь — с мягким знаком.
Это существительное женского рода (она, помощь).
Существительные 3-го склонения (женский род, на мягкий знак) после шипящих обычно пишутся с ь:
ночь, рожь, мышь, помощь.

6) трубач

Пишется: трубач — без мягкого знака.
Это существительное мужского рода (он, трубач).
Существительные мужского рода на шипящую обычно без ь:
врач, сторож, трубач, калач.

7) царевич

Пишется: царевич — без мягкого знака.
Существительное мужского рода, оканчивается на ч → без ь.

8) луч

Пишется: луч — без мягкого знака.
Существительное мужского рода, оканчивается на ч → без ь.

9) пожарищ

Пишется: пожарищ — без мягкого знака.
Это форма множественного числа родительного падежа (обычно: нет пожарищ), или словообразовательная форма от пожарище.
На конце -щ в такой форме мягкий знак не нужен.

10) задача

Пишется: задача — без мягкого знака.
Слово оканчивается на а, мягкий знак на конце тут не относится: ь на конце не ставится.

Итог (как писать)

• С мягким знаком (ь): чувствуешь, помощь

• Без мягкого знака: горяч, пожох, шипуч, трубач, царевич, луч, пожарищ, задача

(С оговоркой: «пожох» выглядит ненормативным/ошибочным словом; по написанию на конце всё равно без ь.)