Какой частью речи выражено сказуемое в предложении: "Как хорош лес осенью!"?

В предложении «Как хорош лес осенью!» сказуемое выражено кратким прилагательным.

Разбор по смыслу и грамматике такой:

• Подлежащее: лес (о чём говорится в предложении).

• Сказуемое: хорош (что говорится о лесе — каков он).

Слово «хорош» — это краткая форма прилагательного (полная форма: хороший). В такой конструкции краткое прилагательное выступает в роли составного именного сказуемого (обычно связка «есть» опускается):
Лес (есть) хорош (осенью).

Частица/наречие «как» здесь не является сказуемым: она служит для выражения восклицания и усиления оценки (вопрос “насколько?”), а грамматическое сказуемое остаётся «хорош».