Дверь тихонько заскрипела и в светлицу входит царь. --- Нужна ли запятая в этом предложении после буквы и?

Запятая после и здесь нужна:
Дверь тихонько заскрипела, и в светлицу входит царь.

Почему:

1. Это сложносочинённое предложение: две грамматические основы, соединённые союзом и.

• дверь заскрипела (подлежащее дверь, сказуемое заскрипела)

• царь входит (подлежащее царь, сказуемое входит)

2. По правилу: если части сложносочинённого предложения не имеют общего элемента (общего обстоятельства, вводного слова, частицы и т. п.), то перед союзом и ставится запятая.

3. Здесь нет того, что могло бы «снять» запятую:

• общего обстоятельства для обеих частей нет (слово тихонько относится только к заскрипела),

• общий второстепенный член вроде «в этот момент», «вдруг», «тогда» отсутствует,

• нет общей вводной конструкции или общего придаточного.

Интонационно это тоже две последовательные ситуации: сначала скрип, затем действие (входит царь), поэтому естественная пауза перед и подтверждает запятую.

Итого: правильное оформление — с запятой перед “и”.