Он просил мясо. или: он просил мяса.

Обе фразы возможны, но смысл и «картинка» в голове у них немного разные. Разница — в падеже дополнения: мясо (винительный) vs мяса (родительный), то есть конкретность vs неопределённое количество/вид.

1) «Он просил мясо»

Это звучит так, будто речь о конкретном предмете просьбы — мясо как позиция/продукт/блюдо, часто в ситуации выбора.

Так говорят, когда:

• просят именно мясо, а не рыбу/овощи:
  «В пост все брали рыбу, а он просил мясо».

• просят порцию/блюдо (в меню «мясо» как вариант):
  «На гарнир он просил мясо» (то есть “дайте мясное”).

• подразумевается определённое, ожидаемое “мясо” (как категория, но воспринимаемая как конкретный объект просьбы).

По ощущению это чуть более «категорично»: просил мясо (как вещь/опцию).

2) «Он просил мяса»

Это самый обычный разговорный вариант, когда подразумевается немного, сколько-то, порцию, кусок, то есть неопределённое количество. Это родительный падеж с оттенком «части от целого».

Так говорят, когда:

• просят добавки/побольше:
  «Ему не хватило, он просил мяса».

• просят как продукта на выдаче/в магазине:
  «К празднику он просил мяса» (закупить мяса, не уточняя сколько и какого).

• важен не выбор “мясо vs не мясо”, а именно количество:
  «В суп он просил мяса побольше».

По ощущению это естественнее в бытовой ситуации: просил мяса (чего-то мясного, немного/сколько нужно).

Как выбрать быстро

• Если акцент на том, что именно просил (мясо как вариант/категория) → «просил мясо».

• Если акцент на количестве/доле/порции (немного мяса, добавки) → «просил мяса».

Мини-пары для сравнения

• «Он просил мясо, а ему дали рыбу». (выбор по типу)

• «Он просил мяса, потому что был голодный». (порцию/добавку)

В большинстве бытовых контекстов без уточнений более естественно звучит «он просил мяса», но если вы противопоставляете мясо другим вариантам — лучше «он просил мясо».