Докажите, что значение выражения 7^333 · 3^777 — число, оканчивающееся на ноль.

Выражение \(7^{333} \cdot 3^{777}\) не оканчивается на ноль. Докажем, что его последняя цифра — 1.

Последняя цифра степени числа 7 повторяется с периодом 4: \(7^1 = 7\), \(7^2 = 49\) (9), \(7^3 = 343\) (3), \(7^4 = 2401\) (1), затем снова 7, 9, 3, 1. Так как \(333 = 4 \cdot 83 + 1\), то \(7^{333}\) оканчивается на ту же цифру, что и \(7^1\), то есть на 7.

Аналогично для 3: последние цифры степеней: 3, 9, 7, 1, период 4. \(777 = 4 \cdot 194 + 1\), поэтому \(3^{777}\) оканчивается на 3.

Перемножаем последние цифры: \(7 \cdot 3 = 21\), значит, произведение оканчивается на 1. Число, оканчивающееся на 1, не может оканчиваться на 0. Следовательно, исходное утверждение неверно.

0 0 Пожаловаться