Разделите число 120 на три положительных слагаемых так, чтобы два из них были в отношении 2:3 и произведение трёх слагаемых было наибольшим.

Пусть два слагаемых, находящихся в отношении $2:3$, равны $2x$ и $3x$. Тогда третье слагаемое будет:

Так как все слагаемые должны быть положительными, имеем:

Произведение трёх слагаемых:

Нужно найти такое $x$, при котором это выражение максимально.

Раскроем скобки:

Найдём производную:

Вынесем общий множитель:

Производная равна нулю при:

Отсюда:

Значение $x=0$ не подходит, так как слагаемые должны быть положительными. Поэтому берём:

Тогда два слагаемых в отношении $2:3$ равны:

Третье слагаемое:

Проверим: сумма действительно равна $120$:

А два первых числа находятся в отношении:

Произведение:

Следовательно, наибольшее произведение получается при разбиении числа $120$ на слагаемые:

Их произведение равно: