Алиса показывает фокус: просит каждого зрителя задумать число, умножить его на 12, прибавить 2, умножить результат на 3 и прибавить 3, разделить результат на 9 и дважды вычесть исходное задуманное число. После этого все желающие сообщают Алисе свой результат, и Алиса отгадывает задуманное число. Что загадал зритель, получивший число 3? А зрители, получившие 201 и 4039? А хитрый зритель, получивший число 0,4? Как Алисе удаётся быстро и безошибочно отгадывать ответ? (Ответить на все вопросы)

Алиса может быстро и безошибочно отгадывать задуманные числа, потому что все предложенные ею математические действия в итоге сводятся к очень простой формуле. Чтобы понять секрет фокуса, разберём его по порядку.

1. Раскроем секрет фокуса с помощью алгебры.

Пусть зритель задумал некоторое число $x$.

Выполним все действия, которые предлагает Алиса:

1. Умножить задуманное число на 12: $12x$.

2. Прибавить 2: $12x+2$.

3. Умножить результат на 3: $36x+6$.

4. Прибавить 3: $36x+9$.

5. Разделить результат на 9:

6. Дважды вычесть исходное задуманное число:

Таким образом, после выполнения всех действий зритель получает число, которое равно удвоенному задуманному числу плюс 1.

Обозначим сообщённый зрителем результат через $y$. Тогда:

Выразим из этого равенства задуманное число:

Это и есть секрет Алисы: она вычитает из названного зрителем результата единицу, а затем делит полученное число на 2.

2. Какие числа загадали зрители?

Первый зритель получил число 3.

По формуле:

Значит, первый зритель загадал 1.

Второй зритель получил число 201.

Вычислим:

Следовательно, второй зритель загадал 100.

Третий зритель получил число 4039.

Вычислим:

Значит, третий зритель загадал 2019.

3. Какое число загадал хитрый зритель, получивший 0,4?

Здесь самое интересное заключается в том, что зритель задумал отрицательное число.

Используем ту же формулу:

Получается, хитрый зритель загадал −0,3.

Проверим, действительно ли это так:

1. $-0{,}3\cdot12=-3{,}6$.

2. $-3{,}6+2=-1{,}6$.

3. $-1{,}6\cdot3=-4{,}8$.

4. $-4{,}8+3=-1{,}8$.

5. $-1{,}8:9=-0{,}2$.

6. Дважды вычтем задуманное число: $-0{,}2-(-0{,}3)-(-0{,}3)=0{,}4$.

Всё сошлось! Хитрость зрителя состояла в выборе отрицательного дробного числа, но и его Алиса легко разгадала.

4. Ответ на все вопросы задачи

Как Алисе удаётся быстро и безошибочно отгадывать числа?

Алиса знает, что в результате предложенных действий любое задуманное число сначала удваивается, а затем к нему прибавляется единица. Поэтому для нахождения исходного числа ей достаточно выполнить обратные действия: вычесть единицу и разделить на