Для геометрической прогрессии известно, что разность между её пятым и третьим членами равна 48, а разность между четвёртым и вторым членами равна 24. Определите первый член данной геометрической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии \( b_1 \), а знаменатель — \( q \). Тогда члены прогрессии:

\( b_2 = b_1 q \), \( b_3 = b_1 q^2 \), \( b_4 = b_1 q^3 \), \( b_5 = b_1 q^4 \).

По условию:

\( b_5 - b_3 = b_1 q^4 - b_1 q^2 = b_1 q^2 (q^2 - 1) = 48 \),

\( b_4 - b_2 = b_1 q^3 - b_1 q = b_1 q (q^2 - 1) = 24 \).

Разделим первое уравнение на второе (при \( q \neq \pm 1 \), что проверяется отдельно):

\( \frac{b_1 q^2 (q^2 - 1)}{b_1 q (q^2 - 1)} = \frac{48}{24} \Rightarrow q = 2 \).

Подставим \( q = 2 \) во второе уравнение:

\( b_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = b_1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 b_1 = 24 \Rightarrow b_1 = 4 \).

Ответ: первый член прогрессии равен 4.

0 0 Пожаловаться