Доведіть, що (x + 1/y)(y + 1/x) ≥ 4, якщо x > 0, y > 0.

Розкриємо дужки: \((x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) = xy + \frac{x}{x} + \frac{y}{y} + \frac{1}{xy} = xy + 1 + 1 + \frac{1}{xy} = xy + \frac{1}{xy} + 2\).

За нерівністю Коші для додатних чисел \(a + \frac{1}{a} \ge 2\), де \(a = xy > 0\). Отже, \(xy + \frac{1}{xy} \ge 2\).

Тоді \((x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \ge 2 + 2 = 4\). Рівність досягається при \(xy = 1\).

0 0 Пожаловаться