Интеграл sin^3 3xdx

Срочно пожалуйста

Нужно найти интеграл:

\[\int \sin^3 3x\,dx\]

Представим степень так:

\[\sin^3 3x=\sin 3x\left(1-\cos^2 3x\right)\]

Тогда:

\[\int \sin^3 3x\,dx=\int \sin 3x\left(1-\cos^2 3x\right)dx\]

Пусть \(u=\cos 3x\), тогда \(du=-3\sin 3x\,dx\), значит \(\sin 3x\,dx=-\frac{1}{3}du\).

Получаем:

\[-\frac{1}{3}\int \left(1-u^2\right)du=-\frac{1}{3}\left(u-\frac{u^3}{3}\right)+C\]

Возвращаем \(u=\cos 3x\):

\[\int \sin^3 3x\,dx=-\frac{\cos 3x}{3}+\frac{\cos^3 3x}{9}+C\]

0 0 Пожаловаться