На доске были написаны числа 1, 2, 3, …, 235. Петя стёр несколько из них. Оказалось, что среди оставшихся чисел никакое не делится на разность никаких двух других. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Наибольшее количество чисел — 15.

Если среди оставшихся чисел есть два с разностью \( d \), то ни одно другое оставшееся число не должно делиться на \( d \). Особенно опасны малые разности.

Можно оставить числа:

\[ 221, 222, 223, \ldots, 235 \]

Их \( 15 \). Разность любых двух из них не больше \( 14 \), а каждое оставшееся число больше \( 220 \). Ни одно число от \( 221 \) до \( 235 \) не делится на числа от \( 1 \) до \( 14 \), если эта разность получается между двумя другими выбранными числами.

Больше \( 15 \) чисел оставить нельзя: при \( 16 \) числах в отрезке от \( 1 \) до \( 235 \) обязательно появятся такие две другие числа, разность которых станет делителем одного из оставшихся чисел.

0 0 Пожаловаться