В геометрической прогрессии, члены которой — отрицательные числа, сумма 1-го и 3-го членов равна 20, а произведение 1-го и 5-го членов равно 4. Найдите 2-й член прогрессии.

Такой геометрической прогрессии не существует, поэтому найти её 2-й член невозможно.

Обозначим первый член прогрессии через $a_1$, знаменатель через $q$. Тогда:

По условию все члены прогрессии — отрицательные числа. Значит, в частности,

и

Но сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна:

А по условию сказано, что

Число $20$ положительное, поэтому это невозможно.

Даже не нужно использовать второе условие про произведение $a_1$ и $a_5$, потому что уже первое условие противоречит тому, что все члены прогрессии отрицательны.

Ответ: такой геометрической прогрессии не существует.