Имеет ли корни уравнение x² = -9?

Да, но это зависит от того, в каком множестве чисел искать корни.

В действительных числах уравнение

$x^2 = -9$

не имеет корней, потому что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Например:

$3^2 = 9$

$(-3)^2 = 9$

$0^2 = 0$

То есть при возведении действительного числа в квадрат результат всегда либо положительный, либо равен нулю. Получить $-9$ невозможно.

Но в комплексных числах корни есть. Используется мнимая единица $i$, для которой:

$i^2 = -1$

Тогда:

$x^2 = -9$

можно записать как:

$x^2 = 9 \cdot (-1)$

Отсюда:

$x = \pm 3i$

Проверка:

$(3i)^2 = 9i^2 = 9 \cdot (-1) = -9$

$(-3i)^2 = 9i^2 = -9$

Итак, ответ:

в действительных числах корней нет; в комплексных числах корни: $x = 3i$ и $x = -3i$.