Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² - 6x + 12 + a² - 4a = 0 имеет

Ответы на вопрос

Отвечает Микрюкова Мария.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как если бы я писал подробный ответ на сайте с вопросами и ответами.

Нам дано квадратное уравнение:

x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0

и нужно найти такие значения параметра $a$ , при которых модуль разности корней этого уравнения максимален.

Квадратное уравнение в стандартном виде:

x^2 - 6x + (12 + a^2 - 4a) = 0

То есть:

x^2 - 6x + (a^2 - 4a + 12) = 0

Для квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ корни $x_1, x_2$ удовлетворяют:

x_1 - x_2 = \sqrt{b^2 - 4c}

(модуль разности корней — это $|x_1 - x_2| = \sqrt{b^2 - 4c}$ , при условии что дискриминант неотрицателен).

В нашем случае $b = -6$ , $c = a^2 - 4a + 12$ . Тогда:

|x_1 - x_2| = \sqrt{(-6)^2 - 4(a^2 - 4a + 12)} = \sqrt{36 - 4(a^2 - 4a + 12)}

Раскроем скобки:

|x_1 - x_2| = \sqrt{36 - 4a^2 + 16a - 48} = \sqrt{-4a^2 + 16a - 12}

Вынесем -4 за скобку:

|x_1 - x_2| = \sqrt{-4(a^2 - 4a + 3)}

|x_1 - x_2| = \sqrt{-4((a-1)(a-3))} = \sqrt{4(1-a)(a-3)}

То есть:

|x_1 - x_2| = 2\sqrt{-(a-1)(a-3)} = 2\sqrt{(1-a)(a-3)}

Чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

(-6)^2 - 4(a^2 - 4a + 12) \ge 0

36 - 4(a^2 - 4a + 12) \ge 0

-4(a^2 - 4a + 12) + 36 \ge 0

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x² - 6x + 12 + a² - 4a = 0 имеет корни, а модуль их разности максимален.