Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листков бумаги?

Нет, не может.

Изначально есть 1 лист. Каждый раз, когда один лист разрезают на 5 частей, вместо одного листа появляется 5, то есть общее число листков увеличивается на

Значит, после любого числа разрезаний количество листков имеет вид

где $n$ — число выполненных разрезаний. Поэтому итоговое число всегда при делении на 4 даёт остаток 1.

Но

Число 2006 нельзя представить в виде $1+4n$. Следовательно, получить 2006 листков невозможно.