Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовём куски стандартными). Некоторый моток верёвки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?

Пусть длина всего мотка равна $L$ см.

Изначально моток разрезали на 23 стандартных куска. Каждый кусок имеет длину от 115 до 120 см, поэтому:

Но сказано, что среди 23 кусков есть куски разной длины, значит они не могут быть все по 120 см. Поэтому:

Теперь представим, что этот же моток хотят разрезать на одинаковые стандартные куски. Если таких кусков будет $n$, то длина одного куска равна:

Она должна быть не меньше 115 см:

Отсюда:

Так как $L<2760$, получаем:

Значит, количество одинаковых кусков не может быть 24 или больше. Максимально возможное значение — 23.

Осталось проверить, что 23 действительно возможно. Например, можно представить исходный моток длиной:

Его можно было получить из 23 стандартных кусков разной длины:

• 21 кусок по 119 см,

• 1 кусок 118 см,

• 1 кусок 120 см.

Все они стандартные, но есть куски разной длины.

Тот же моток длиной 2737 см можно разрезать на 23 одинаковых куска:

119 см — это стандартная длина.

Следовательно, наибольшее число одинаковых стандартных кусков: