Найдите корень уравнения: cos 4 пи x/3 = 1/2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень

Ответы на вопрос

Отвечает Петрова Мария.

Дано уравнение:

\cos \left(\frac{4\pi x}{3}\right) = \frac{1}{2}.

Косинус равен $\frac{1}{2}$ в двух случаях на основном периоде ( $[0; 2\pi]$ ):

\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad \theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.

Для $\frac{4\pi x}{3}$ это даёт:

\frac{4\pi x}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{4\pi x}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

\frac{4\pi x}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.

Умножим обе части на $\frac{3}{4\pi}$ :

x = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{4\pi} + n \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{2}n.

\frac{4\pi x}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.

Аналогично умножим обе части на $\frac{3}{4\pi}$ :

x = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{3}{4\pi} + n \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}n.

Итак, корни уравнения:

x_1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2}n, \quad x_2 = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}n, \quad n \in \mathbb{Z}.

Теперь найдем наибольший отрицательный корень. Подставляем различные значения $n$ и проверяем, какие из $x_1$ и $x_2$ оказываются отрицательными.

x_1 < 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{3}{2}n < 0 \implies n < -\frac{1}{6}.

Целое $n = -1$ , тогда:

x_1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Ответы на вопрос