Дана последовательность 1, -2, 3, -4, 5, -6... Напишите формулу общего члена последовательности. Определите, является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу.

Дана последовательность:

Нужно найти формулу общего члена последовательности и определить, является ли она возрастающей, убывающей, ограниченной сверху или снизу.

1. Формула общего члена последовательности

Рассмотрим закономерность:

• $a_1=1$

• $a_2=-2$

• $a_3=3$

• $a_4=-4$

• $a_5=5$

• $a_6=-6$

Заметим, что абсолютное значение каждого члена равно его порядковому номеру, а знаки чередуются: положительный, отрицательный, положительный, отрицательный и так далее.

Чередование знаков можно записать с помощью выражения $(-1)^{n+1}$.

Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид:

Проверим формулу:

При $n=1$:

При $n=2$:

При $n=3$:

Формула верна.

2. Является ли последовательность возрастающей или убывающей?

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего:

В нашем случае:

Поскольку $-2<1$, последовательность не является возрастающей.

Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего:

Но:

Поскольку $3>-2$, последовательность не является убывающей.

Вывод: последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, поскольку её члены попеременно увеличиваются и уменьшаются.

3. Ограничена ли последовательность сверху?

Последовательность ограничена сверху, если существует число $M$, такое что для всех натуральных $n$:

Рассмотрим члены с нечётными номерами:

Эти числа неограниченно увеличиваются. Для любого числа $M$ найдётся член последовательности, который больше $M$.

Следовательно, последовательность не ограничена сверху.

4. Ограничена ли последовательность снизу?

Последовательность ограничена снизу, если существует число $m$, такое что:

Рассмотрим члены с чётными номерами:

Эти числа становятся всё меньше и могут быть меньше любого заранее заданного числа.

Следовательно, посл