Существует ли натуральное число, имеющее ровно 2016 делителей?

Да, существует натуральное число, имеющее ровно 2016 натуральных делителей. Более того, таких чисел бесконечно много.

Докажем это с помощью формулы для количества натуральных делителей числа.

Пусть натуральное число $n$ имеет каноническое разложение на простые множители:

где $p_1,p_2,\ldots,p_k$ — различные простые числа, а $a_1,a_2,\ldots,a_k$ — натуральные числа.

Тогда количество натуральных делителей числа $n$ вычисляется по формуле:

Нам нужно подобрать такое число $n$, чтобы

Разложим 2016 на простые множители:

Следовательно,

Возьмём три различных простых числа, например $2$, $3$ и $5$, и построим число

По формуле количества делителей получаем:

То есть

Таким образом, построенное нами натуральное число имеет ровно 2016 натуральных делителей.

Можно привести и более простой пример. Поскольку 2016 — натуральное число, возьмём

Все натуральные делители этого числа имеют вид

Их количество равно

Ответ: да, существует. Например, число $\boxed{2^{2015}}$ имеет ровно 2016 натуральных делителей.

Более того, для любого простого числа $p$ число $p^{2015}$ имеет ровно 2016 делителей. А поскольку простых чисел бесконечно много, то и натуральных чисел с ровно 2016 делителями существует бесконечно много.