5.83. Докажите, что значение выражения:
1) 326³ + 74³ кратно 400;
2) 425³ − 125³ кратно 300.

5.83. Докажите, что значение выражения:

1) $326^3+74^3$ кратно 400;

2) $425^3-125^3$ кратно 300.

Решение

1) Докажем, что $326^3+74^3$ кратно 400.

Воспользуемся формулой суммы кубов:

Подставим значения:

Так как $326+74=400$, получаем:

Выражение в скобках является целым числом, значит, всё произведение делится на 400 без остатка.

Следовательно, $326^3+74^3$ кратно 400.

2) Докажем, что $425^3-125^3$ кратно 300.

Воспользуемся формулой разности кубов:

Подставим значения:

Так как $425-125=300$, получаем:

Выражение в скобках является целым числом, значит, всё произведение делится на 300 без остатка.

Следовательно, $425^3-125^3$ кратно 300.

Ответ:

1) $326^3+74^3$ кратно 400, так как сумма кубов делится на сумму их оснований, а $326+74=400$.

2) $425^3-125^3$ кратно 300, так как разность кубов делится на разность их оснований, а $425-125=300$.

Что и требовалось доказать.