Студент Петров должен решить 640 задач, чтобы хорошо подготовиться к экзамену. Петров относится к тому типу людей, которые делают всё в последний момент, поэтому его беспокойство возрастает по мере приближения даты экзамена. Растущее беспокойство заставляет его решать каждый следующий день на определённое число задач больше, чем он решил в предыдущий день. Известно, что он в первый день решил всего 10 задач, но всё-таки успел подготовиться к экзамену. Определите, сколько задач Петров решил в четвёртый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Решение:

По условию задачи студент Петров каждый день решал на одно и то же количество задач больше, чем в предыдущий день. Следовательно, количество решённых им задач образует арифметическую прогрессию.

Дано:

• Общее количество задач: $S_{16}=640$.

• Количество дней подготовки: $n=16$.

• Количество задач, решённых в первый день: $a_1=10$.

• Каждый день Петров решал на $d$ задач больше, чем в предыдущий.

Найти: $a_4$ — количество задач, решённых в четвёртый день.

Шаг 1. Найдём разность арифметической прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

Подставим известные значения:

Упростим выражение:

Разделим обе части уравнения на 8:

Таким образом, каждый следующий день Петров решал на 4 задачи больше, чем в предыдущий.

Шаг 2. Определим количество задач, решённых в четвёртый день.

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

Для четвёртого дня:

Проверка:

В первый день Петров решил 10 задач, а в шестнадцатый:

Тогда общее количество решённых задач:

Полученное значение совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: в четвёртый день Петров решил 22 задачи.