Периметр параллелограмма ABCD равен 80 дм. Найдите площадь параллелограмма, если BK — высота к AD, угол A = 30°, AD - AB = 12 дм (рисунок 1).

Дано:

• $P_{ABCD}=80$ дм;

• $\angle A=30^\circ$;

• $AD-AB=12$ дм;

• $BK$ — высота параллелограмма, проведённая к стороне $AD$.

Найти: $S_{ABCD}$.

Решение:

1. Найдём сумму двух соседних сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле:

Подставим известное значение:

2. Составим систему уравнений, используя условие $AD-AB=12$:

Сложим уравнения:

Найдём сторону $AB$:

3. Найдём высоту $BK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Так как $BK$ — высота, то $\angle AKB=90^\circ$, а $\angle BAK=30^\circ$.

Используем определение синуса:

4. Найдём площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию:

Подставим найденные значения:

Ответ: $182\text{ дм}^2$.