62. У ученика есть несколько монет по 15 р. и 20 р., при этом монет по 20 р. больше, чем монет по 15 р. Он заплатил две монеты за билет в кино, что составило 1/5 часть его денег. Разделив половину оставшихся денег на три монеты, он пообедал. Сколько монет каждого вида было у ученика?

Решение:

Обозначим:

• $x$ — количество монет по 15 рублей;

• $y$ — количество монет по 20 рублей.

По условию монет по 20 рублей больше, чем монет по 15 рублей, поэтому $y>x$.

1. Определим общую сумму денег.

За билет ученик заплатил двумя монетами. Возможные варианты оплаты:

• 15 + 15 = 30 рублей;

• 15 + 20 = 35 рублей;

• 20 + 20 = 40 рублей.

По условию стоимость билета составляет $1/5$ всех денег ученика. Значит, вся сумма в пять раз больше стоимости билета:

• 30 · 5 = 150 рублей;

• 35 · 5 = 175 рублей;

• 40 · 5 = 200 рублей.

2. Определим, какими монетами ученик заплатил за обед.

После покупки билета у него осталось $4/5$ первоначальной суммы. Половина оставшихся денег составляет:

от первоначальной суммы.

Эту половину он потратил на обед, заплатив тремя монетами.

Проверим полученные варианты:

• Если всего было 150 рублей, на обед потрачено $150\cdot 2/5=60$ рублей.

• Если всего было 175 рублей, на обед потрачено $175\cdot 2/5=70$ рублей.

• Если всего было 200 рублей, на обед потрачено $200\cdot 2/5=80$ рублей.

Три монеты по 15 и 20 рублей могут составить сумму 60 рублей только в том случае, если все три монеты по 20 рублей:

Следовательно, общая сумма денег ученика составляла 150 рублей.

За билет он заплатил двумя монетами по 15 рублей:

3. Найдём количество монет каждого вида.

Составим уравнение:

Разделим обе части на 5:

Нужно найти целые неотрицательные решения, при которых $y>x$.

Подходящее решение:

Проверим:

Монет по 20 рублей действительно больше, чем монет по 15 рублей.

Ответ: 2 монеты по 15 рублей и 6 монет по 20 рублей.