исследовать функцию и построить график

y=x/e^2x

Будем считать, что функция записана так: \(y=\frac{x}{e^{2x}}\), то есть \(y=xe^{-2x}\).

1. Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\), потому что \(e^{2x}\neq0\) при любом \(x\).

2. Нули функции:
\(\frac{x}{e^{2x}}=0\), значит \(x=0\).
Точка пересечения с осями: \((0;0)\).

3. Производная:
\[y'=e^{-2x}(1-2x)\]

Так как \(e^{-2x}>0\), знак производной зависит от \(1-2x\).

• при \(x<\frac12\) функция возрастает;
• при \(x>\frac12\) функция убывает.

Значит, при \(x=\frac12\) есть максимум:

\[y\left(\frac12\right)=\frac{1}{2e}\]

4. Вторая производная:
\[y''=4e^{-2x}(x-1)\]

• при \(x<1\) график выпуклый вверх? Нет: \(y''<0\), значит график выпуклый вниз;
• при \(x>1\) \(y''>0\), значит график выпуклый вверх.

Точка перегиба: \(x=1\), \(y=\frac1{e^2}\).

5. Поведение на бесконечности:

При \(x\to+\infty\): \(y\to0\). Поэтому справа есть горизонтальная асимптота \(y=0\).

При \(x\to-\infty\): \(y\to-\infty\).

Для построения графика отметь точки:
\((0;0)\), \(\left(\frac12;\frac1{2e}\right)\), \(\left(1;\frac1{e^2}\right)\). График сначала возрастает до максимума, потом убывает и справа приближается к оси \(Ox\).

0 0 Пожаловаться