Помогите с заданием, пожалуйста!
а) решите неравенство x+ 20/(x+6) >= 6
б) решите неравенство: корень(x+4,2)+ 1/корень(x+4,2) >= 5/2
Найдите все решения 2 нер., не являющиеся решениями 1

а) Решим первое неравенство:

\[x+\frac{20}{x+6}\ge 6\]

Область определения: \(x\ne -6\).

Переносим \(6\) влево и приводим к одной дроби:

\[x-6+\frac{20}{x+6}\ge 0\]

\[\frac{(x-6)(x+6)+20}{x+6}\ge 0\]

\[\frac{x^2-16}{x+6}\ge 0\]

\[\frac{(x-4)(x+4)}{x+6}\ge 0\]

По методу интервалов получаем:

\[x\in(-6;-4]\cup[4;+\infty)\]

б) Решим второе неравенство:

\[\sqrt{x+4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}\ge \frac{5}{2}\]

Область определения: \(x\gt -4\). Пусть \(t=\sqrt{x+4}\), тогда \(t\gt 0\).

Получаем:

\[t+\frac{1}{t}\ge \frac{5}{2}\]

Так как \(t\gt 0\), умножаем на \(2t\):

\[2t^2-5t+2\ge 0\]

\[(2t-1)(t-2)\ge 0\]

Значит, \(0\lt t\le \frac{1}{2}\) или \(t\ge 2\).

Возвращаемся к \(x\):

\[x\in\left(-4;-\frac{15}{4}\right]\cup[0;+\infty)\]

Теперь берём решения второго неравенства, которые не являются решениями первого. Из промежутка \([0;+\infty)\) надо убрать \([4;+\infty)\).

Ответ: \[x\in\left(-4;-\frac{15}{4}\right]\cup[0;4)\]

0 0 Пожаловаться