Докажите, что сумма всех медиан треугольника меньше, чем периметр треугольника, если известно, что сумма всех медиан больше, чем периметр/2.

Обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\), \(c\), а соответствующие им медианы — через \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\).

Каждая медиана меньше полусуммы двух сторон, выходящих из той же вершины:

\[m_a<\frac{b+c}{2},\qquad m_b<\frac{a+c}{2},\qquad m_c<\frac{a+b}{2}.\]

Сложим эти неравенства:

\[m_a+m_b+m_c<\frac{b+c+a+c+a+b}{2}=a+b+c.\]

Значит, сумма всех медиан меньше периметра треугольника. Условие о том, что сумма медиан больше половины периметра, для этого доказательства не требуется.

0 0 Пожаловаться