Докажите, что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра, но меньше периметра.

Обозначим длины медиан через \(m_a, m_b, m_c\), а стороны — через \(a, b, c\).

Рассмотрим центр тяжести \(G\). Он делит каждую медиану в отношении \(2:1\), поэтому \(AG=\frac{2}{3}m_a\), \(BG=\frac{2}{3}m_b\). По неравенству треугольника \(AG+BG>AB=c\), значит \(m_a+m_b>\frac{3}{2}c\). Аналогично:

\[m_b+m_c>\frac{3}{2}a,\qquad m_c+m_a>\frac{3}{2}b.\]

Сложим эти неравенства:

\[2(m_a+m_b+m_c)>\frac{3}{2}(a+b+c).\]

Следовательно, \(m_a+m_b+m_c>\frac{3}{4}(a+b+c)\), а значит, сумма медиан больше полупериметра \(\frac{a+b+c}{2}\).

По формуле медианы

\[m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}<\frac{b+c}{2},\]

так как \(a>|b-c|\). Аналогично \(m_b<\frac{c+a}{2}\), \(m_c<\frac{a+b}{2}\). Складывая, получаем:

\[m_a+m_b+m_c<a+b+c.\]

Итак, сумма длин медиан больше полупериметра и меньше периметра.

0 0 Пожаловаться