(n+1)! /n(n-2)! Сократить дробь​

Давайте подробно разберем, как сократить выражение $\frac{(n+1)!}{n(n-2)!}$.

1. Распишем факториалы:

   Факториал числа $x$, записанный как $x!$, — это произведение всех целых чисел от 1 до $x$. Например, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$.

   В данном случае у нас есть выражения $(n+1)!$ и $(n-2)!$:

   $$(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2)!$$

   Мы видим, что $(n+1)!$ можно записать как $(n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2)!$.

2. Подставим это в исходную дробь:

   Теперь подставим это в исходное выражение $\frac{(n+1)!}{n(n-2)!}$:

   $$\frac{(n+1)!}{n(n-2)!} = \frac{(n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2)!}{n \times (n-2)!}$$

3. Сокращаем общие множители:

   В числителе и знаменателе есть множитель $n$ и множитель $(n-2)!$, который можно сократить:

   • $n$ в числителе и знаменателе сокращаются.
   • $(n-2)!$ в числителе и знаменателе также сокращаются.

   Остается:

   $$(n+1) \times (n-1)$$

4. Ответ:

   После сокращения получаем выражение $(n+1)(n-1)$, которое можно записать как разность квадратов:

   $$(n+1)(n-1) = n^2 - 1$$

Таким образом, сокращенное выражение равно $n^2 - 1$.