решите неопределенный логарифм , с полным решением. S(x-1)lnxdx

Понимаем запись как интеграл:

\[\int (x-1)\ln x\,dx\]

Применим интегрирование по частям. Возьмём:

\[u=\ln x,\quad dv=(x-1)dx\]

Тогда:

\[du=\frac{1}{x}dx,\quad v=\frac{x^2}{2}-x\]

По формуле \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\):

\[\int (x-1)\ln x\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\ln x-\int\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\frac{1}{x}\,dx\]

Упростим второй интеграл:

\[\int\left(\frac{x}{2}-1\right)dx=\frac{x^2}{4}-x\]

Следовательно,

\[\int (x-1)\ln x\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\ln x-\frac{x^2}{4}+x+C\]

Ответ:

\[\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\ln x-\frac{x^2}{4}+x+C,\quad x>0\]

0 0 Пожаловаться