Второй и пятый члены геометрической прогрессии соответственно равны 7 и 1/49. Найдите члены прогрессии , заключённые между ними

Чтобы найти члены геометрической прогрессии, заключённые между вторым и пятым, давайте разберемся с условием задачи шаг за шагом.

Шаг 1: Запишем формулы для членов геометрической прогрессии.

Пусть $a$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• 1-й член: $a$
• 2-й член: $a \cdot q$
• 3-й член: $a \cdot q^2$
• 4-й член: $a \cdot q^3$
• 5-й член: $a \cdot q^4$

Шаг 2: Используем данные задачи.

Из условия нам известно:

• Второй член равен 7: $a \cdot q = 7$
• Пятый член равен $\frac{1}{49}$: $a \cdot q^4 = \frac{1}{49}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a \cdot q = 7$
2. $a \cdot q^4 = \frac{1}{49}$

Шаг 3: Найдем выражение для $a$.

Из первого уравнения выразим $a$: $a = \frac{7}{q}$

Шаг 4: Подставим это в второе уравнение.

Подставляем $a = \frac{7}{q}$ во второе уравнение:

Упростим:

Теперь разделим обе части уравнения на 7:

Из этого следует, что $q = \frac{1}{7}$, потому что $343 = 7^3$.

Шаг 5: Найдем значение $a$.

Теперь, зная $q = \frac{1}{7}$, подставим это значение в выражение для $a$:

Шаг 6: Найдем члены прогрессии, заключённые между вторым и пятым.

Теперь, зная $a = 49$ и $q = \frac{1}{7}$, можем найти члены прогрессии, которые лежат между вторым и пятым:

• 3-й член: $a \cdot q^2 = 49 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^2 = 49 \cdot \frac{1}{49} = 1$
• 4-й член: $a \cdot q^3 = 49 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^3 = 49 \cdot \frac{1}{343} = \frac{49}{343} = \frac{1}{7}$

Ответ:

Члены геометрической прогрессии, заключённые между вторым и пятым, — это:

• 3-й член: 1
• 4-й член: $\frac{1}{7}$