Крупнейший спутник Урана Титания обращается вокруг него на расстоянии примерно 436 000 км с

Ответы на вопрос

Отвечает Колесникова Аня.

Решим задачу по частям.

1. Оценка массы Урана по орбитальному движению Титании

Используем третий закон Кеплера в форме:

M \approx \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}

где
$a = 436\,000 \text{ км} = 4.36 \cdot 10^8 \text{ м}$ ,
$T = 8.7 \text{ суток} = 8.7 \cdot 86400 \approx 7.52 \cdot 10^5 \text{ с}$ .

Считаем:

\frac{a^3}{T^2} \approx 1.47 \cdot 10^{14}

Умножаем на $4\pi^2 \approx 39.5$ :

\frac{4\pi^2 a^3}{T^2} \approx 5.8 \cdot 10^{15}

Теперь делим на $G = 6.67 \cdot 10^{-11}$ :

M_U \approx 8.7 \cdot 10^{25} \text{ кг}

Масса Земли:

M_E \approx 6.0 \cdot 10^{24} \text{ кг}

Отношение:

\frac{M_U}{M_E} \approx \frac{8.7 \cdot 10^{25}}{6.0 \cdot 10^{24}} \approx 14.5 \approx 15

Ответ: масса Урана примерно в 15 раз больше массы Земли.

Дано:
масса Титании в 1700 раз меньше Земли:

M_T \approx \frac{6.0 \cdot 10^{24}}{1700} \approx 3.5 \cdot 10^{21} \text{ кг}

Диаметр 1600 км ⇒ радиус:

R_T = 800 \text{ км} = 8.0 \cdot 10^5 \text{ м}

Формула:

g = \frac{GM}{R^2}

Подставляем:

g \approx \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 3.5 \cdot 10^{21}}{(8 \cdot 10^5)^2}

g \approx 0.36 \text{ м/с}^2

Ответ:

g_T \approx 0.37 \text{ м/с}^2

v_1 = \sqrt{gR}

v_1 = \sqrt{0.36 \cdot 8 \cdot 10^5} \approx \sqrt{2.9 \cdot 10^5} \approx 540 \text{ м/с}