Как доказать, что вертикальные углы равны?

Чтобы доказать, что вертикальные углы равны, нужно опираться на определения и свойства смежных и вертикальных углов.

Вот как можно рассуждать:

1. Определение вертикальных углов.
   Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. При этом они лежат напротив друг друга, то есть их стороны являются продолжениями сторон другого угла.

2. Построение ситуации.
   Пусть две прямые пересекаются в точке $O$, образуя четыре угла. Обозначим углы как $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, и $\angle DOA$, где точки $A$, $B$, $C$, и $D$ лежат на лучах, исходящих из точки пересечения $O$.

3. Используем свойство смежных углов.
   Сумма смежных углов равна 180°. Например:

   $$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$$

   и

   $$\angle BOC + \angle COD = 180^\circ$$

4. Равенство углов через вычитание.
   Из равенства этих двух сумм:

   $$\angle AOB + \angle BOC = \angle BOC + \angle COD$$

   Вычтем одинаковые углы $\angle BOC$ из обеих частей:

   $$\angle AOB = \angle COD$$

   Таким образом, противоположные (вертикальные) углы равны.

5. Аналогично можно доказать равенство другой пары вертикальных углов.

   $$\angle BOA = \angle DOC,\quad \angle COB = \angle DOA$$

Вывод:
Вертикальные углы равны, потому что каждая пара вертикальных углов состоит из двух углов, каждый из которых является смежным с одним и тем же третьим углом. Поскольку смежные углы дополняют друг друга до 180°, их "вторые половины", то есть вертикальные углы, также равны между собой.