В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН — высота, АВ = 34, tgA = 4. Найдите АН.

Раз $\angle C = 90^\circ$, то $AB$ — гипотенуза, а $AC,\,BC$ — катеты.
Дано $\tan A=\dfrac{BC}{AC}=4\Rightarrow BC=4\,AC$.

1. Пусть $AC=x$. Тогда

По условию $AB=34$, значит $x=\dfrac{34}{\sqrt{17}}=2\sqrt{17}$.
Итак, $AC=2\sqrt{17}$, $BC=8\sqrt{17}$.

2. Высота $CH$ из прямого угла делит гипотенузу на проекции катетов, и

Подставляем:

Можно короче через тригонометрию: $AH=AB\cos^2 A=\dfrac{AB}{1+\tan^2 A}=\dfrac{34}{1+16}=2.$

Ответ: 2.