Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол двугранного угла C1ADB ,если BD=6корня из 2 см, AD=6 см,AA1=6корня из 3

Чтобы найти угол двугранного угла $\angle C_1 A D B$, рассмотрим геометрическую ситуацию.

У нас есть прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отрезки $BD$, $AD$ и $AA_1$ известны: $BD = 6 \sqrt{2}$ см, $AD = 6$ см, и $AA_1 = 6 \sqrt{3}$ см.

1. Выбор системы координат:
   Пусть точка $A$ будет в начале координат, то есть $A(0, 0, 0)$. Тогда координаты остальных точек будут следующие:

   • $B(6, 0, 0)$, так как отрезок $AB = AD = 6$ см.

   • $D(0, 6, 0)$, так как отрезок $AD = 6$ см.

   • $C(6, 6, 0)$, так как $ABCD$ — это прямоугольник, и $BC = AD = 6$ см.

   • $A_1(0, 0, 6 \sqrt{3})$, так как высота $AA_1 = 6 \sqrt{3}$ см.

2. Векторное представление:
   Для нахождения угла двугранного угла нам нужно найти два вектора, образующие этот угол, и вычислить их скалярное произведение.

   Векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BD}$ будут следующими:

   • Вектор $\overrightarrow{AD} = D - A = (0, 6, 0)$.

   • Вектор $\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 6, 0) - (6, 0, 0) = (-6, 6, 0)$.

3. Расстояние между точками:
   Используем формулы для нахождения длины вектора и расстояния между точками.

   • $BD = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$, что соответствует данному значению.

4. Вычисление угла:
   Угол между двумя векторами $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BD}$ можно найти с использованием формулы для скалярного произведения:

   $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AD}| |\overrightarrow{BD}|}$$

   Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BD}$:

   $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = (0, 6, 0) \cdot (-6, 6, 0) = 0 \times (-6) + 6 \times 6 + 0 \times 0 = 36$$