Как найти длину отрезка

Коротко: длина отрезка — это расстояние между его концами. Варианты, как её найти, зависят от того, что именно дано.

1) На координатной прямой

Если известны координаты концов $x_1$ и $x_2$, то

Пример. Точки $-3$ и $5$: $|5-(-3)|=|8|=8$.

2) На плоскости (декартовы координаты)

Для точек $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ по теореме Пифагора:

Пример. $A(2,-1)$, $B(-4,7)$: $\Delta x=-6$, $\Delta y=8$.
$|AB|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$

3) В пространстве (3D)

Для $A(x_1,y_1,z_1)$, $B(x_2,y_2,z_2)$:

Пример. $A(1,2,3)$, $B(4,6,-5)$: $\Delta x=3$, $\Delta y=4$, $\Delta z=-8$.
$|AB|=\sqrt{9+16+64}=\sqrt{89}.$

4) Через теорему Пифагора в задачах без координат

Если отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$:

Если отрезок — один из катетов и известны гипотенуза $c$ и другой катет $a$:

5) Через скалярное произведение (язык векторов)

Если $\vec{AB}=(\Delta x,\Delta y)$ или $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$, то