Найдите синус, косинус и тангенс острого угла равнобедренной трапеции, разность оснований которой равна 8 см, а сумма боковых сторон 10 см.

Для решения задачи будем использовать геометрические свойства равнобедренной трапеции и тригонометрические функции.

1. Обозначения и параметры:

   • Разность оснований трапеции равна 8 см.

   • Сумма боковых сторон равна 10 см.
     Пусть основания трапеции имеют длины $a$ и $b$, где $a > b$. Тогда разность оснований:
     $a - b = 8 \text{ см}.$
     Пусть боковые стороны равны $c$ и $c$, так как трапеция равнобедренная, и их сумма:
     $2c = 10 \text{ см}, \quad \Rightarrow c = 5 \text{ см}.$

2. Через высоту трапеции:
   Для нахождения углов трапеции воспользуемся тем, что боковые стороны наклоняются к основаниям под некоторым углом, и высота $h$ трапеции перпендикулярна основаниям.

   Разделим разность оснований пополам, так как трапеция равнобедренная. Тогда каждая из получившихся частей будет равна:
   $\frac{a - b}{2} = 4 \text{ см}.$

   Теперь, если провести высоту $h$ из вершины меньшего основания перпендикулярно большему основанию, то получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона $c$, одна из катетов — это высота $h$, а второй катет — это половина разности оснований, то есть 4 см.

3. Нахождение высоты $h$:
   В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c = 5 \text{ см}$, один катет равен 4 см, а другой — это высота трапеции. Используем теорему Пифагора:

   $$h^2 + 4^2 = 5^2.$$ $$h^2 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad h = 3 \text{ см}.$$

4. Нахождение углов трапеции:
   Теперь, зная высоту $h = 3 \text{ см}$, можем найти угол наклона боковых сторон к основанию. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет равен высоте $h = 3 \text{ см}$, второй катет — половине разности оснований $4 \text{ см}$, а гипотенуза — это боковая сторона $c = 5 \text{ см}$.

   Тангенс угла $\theta$ между боковой стороной и основанием трапеции равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (половине разности оснований):

   $$\tan(\theta) = \frac{h}{4} = \frac{3}{4}.$$

   Таким образом, $\tan(\theta) = \frac{3}{4}$.

5. Нахождение синуса и косинуса:
   Для нахождения синуса и косинуса угла $\theta$, используем следующее:

   $$\sin(\theta) = \frac{h}{c} = \frac{3}{5},$$ $$\cos(\theta) = \frac{4}{5}.$$

Итак, синус, косинус и тангенс острого угла трапеции следующие:

• $\sin(\theta) = \frac{3}{5}$,

• $\cos(\theta) = \frac{4}{5}$,

• $\tan(\theta) = \frac{3}{4}$.